초과수익(α)의 통계학

※ 제목을 좀 주제 넘게 통계학이라 지었으나 필자는 통계학 전공자나 전문가가 아닙니다ㅎㅎ

   혹시나 논리적 비약이나 오류가 있다면 반론 or 피드백 부탁드립니다.

   만약 수식 때문에 읽기 어려우시다면 절취선 아래부터 읽어주세요~

 

 

먼저 초과수익의 정의부터 시작해보겠습니다.

초과수익이란 벤치마크수익 이상으로 달성하는 플러스 알파를 뜻합니다.

예를 들어, 미국의 개별주식 투자하는 투자자가 있다면

벤치마크수익을 S&P500 주가지수 ETF에 투자했을 때 얻는 수익으로 정의할 수 있고,

본인의 전략에 대한 성과는 투자수익에서 밴치마크수익을 뺀 초과수익으로 평가할 수 있습니다. 

①  P(투자수익) = 벤치마크수익+ α(초과수익) 

②   P(투자수익) = F(자금) x R(투자수익률) = F x B(벤치마크수익률) x E(초과수익률)

③  벤치마크수익 = F x B

④  α(초과수익) = P - 벤치마크수익 = F x B x E - F x B = F x B x (E-1)

 

투자수익률은 매 해의 투자수익률이 복리로 곱해져서 구해지며,

투자수익률은 벤치마크수익률과 초과수익률의 곱으로 정의할 수 있습니다.

⑤  R(투자수익률) = R₁ x R₂ x R₃ x R₄ ...= ⁿ∏₁ Rₖ = B(벤치마크수익률) x E(초과수익률)

⑥  Rₖ(당해 투자수익률) = Bₖ x Eₖ 

 

초과수익률을 결정하는 요소를 크게 실력적인 요소와 운적인 요소로 나누어 보겠습니다.

투자실력은 정보력, 논리력, 실행력 등 세부 능력들의 곱이라고 볼 수 있죠.

⑦ E = f(투자실력,운) = f(A,L) = A x L

 

다시 돌아와 첫번째 식의 투자수익에 모든 항목들을 대입해보면

투자수익은 자금, 벤치마크수익률, 투자기간, 투자실력, 운 5개의 변수로 결정되는 함수가 됩니다.

⑧ P = f(F,B,n,A,L) = F x ⁿ∏₁ (Bₖ x Aₖ x Lₖ)

 

그럼 이제 각 변수들의 확률 분포에 대해 생각해보겠습니다.

먼저 운이란 표준편차가 굉장히 큰 정규분포를 띄는 것이 특징이며 

말 그대로 운은 랜덤워크 특성을 지니기에 첫해 의 운이 다음 해의 운에 전혀 영향을 미치지 않습니다.

매번 확률이 리셋되는 주사위를 던지는 것과 마찬가지죠.

주사위를 한번 던졌을 때 어떤 값이 나올지 맞추긴 어렵지만

주사위를 만번 던지고 나온 값의 평균을 맞추라 했을 때 3.5 언저리인 것은 누구나 알 수 있습니다.

즉, 투자기간이 늘어난다면 운의 영향력은 굉장히 미미해지고

초장기로 가면 운의 영향력은 상수화되어 영향력이 사라지게 됩니다.

 

다음으로 투자실력의 확률분포를 생각해보면 

운에 비해 밀집되어 있는 표준편차가 작은 분포를 가질 것이고,

흔한 일반 개미투자자 투자1년차와 투자3년차 간엔 큰 차이가 없지만

전문 투자자로써 업력이 어마무시한 투자대가들의 실력은 이들에 비해 훨씬 먼 곳에 위치할 것입니다.

따라서 투자실력의 확률분포는 오른쪽으로 꼬리가 긴 (Long-Right Tail)

기울어진 확률분포(Skewed distribition)을 가집니다.

또 주목해야 할 특징은 투자실력은 운과 달리 시간이 지남에 따라 누적되고 이어집니다.

첫 해의 운은 두번째 해에 리셋되지만 첫 해의 투자실력은 두번째 해에 매우 크게 영향을 주죠.

즉, 투자기간이 늘어나면 서로 높은 양의 상관관계를 가지는 A₁, A₂, A₃... 이 곱해져

투자실력(A)의 확률분포는 더 꼬리가 길고 더 기울어진 분포가 됩니다.

이제 이 두 변수를 곱하여 초과수익률의 확률분포를 알아봅시다.

특정 한 해의 초과수익률은 Eₖ = Aₖ x Lₖ로 표현됩니다.

이런 단기 시간프레임의 초과수익률에선 표준편차가 훨씬 큰 운이 투자실력보다 더 주요하게 작용합니다.

1년 동안의 수익률에선 때때로 동네 바보형의 밈코인 투자수익률이 세자리수를 기록했다는 소식과

천재들만 모여있다는 유명 헤지펀드에서 투자실패로 파산에 이르렀다는 뉴스가 이를 반증하죠.

반면 초장기로 가면, 예를 들어 향후 50년동안의 초과수익률의 확률분포는 어떻게 될까요?

E = E₁ x E₂ .... x E₅₀ = A x L = (A₁ x A₂ .... x A₅₀) (L₁ x L₂ .... x L₅₀) 

위에서 언급했던 다음 해의 A,L에 대한 이전 해의 A,L의 영향력을 생각해보면

시간 독립적인 L의 확률분포는 상수에 가까워져 영향력이 거의 미미할 것이고

시간 누적적인 A의 확률분포는 시간이 지남에 따라 영향력이 기하급수로 늘어날 것입니다.

따라서 if n is high enough, then E ≒ A가 되고 E 또한 Long-Right Tail Skewed 분포를 가집니다.

 

비슷한 방식으로 F(자금)의 확률 분포를 생각해보면,

자금은 우선 모두가 0 이상의 값을 가질 것이고 대부분의 사람들은 0~5억 이하에 분포할테지만

전문투자자, 헤지펀드, 기관급 투자자의 자금은 일반투자자의 시드와는 비교도 안 될 정도로

큰 스케일에 Outlier로써 위치할 것입니다.

결국 F도 A와 같이 Long-Right Tail Skewed 분포를 가집니다.

 

 

그럼 이제 마지막으로 이 글의 주제인 α (초과수익률)의 확률분포를 알아보죠.

α(초과수익) = P(투자수익) -벤치마크수익 =  F x B x E - F x B = F x B x (E-1)

if n is high enough, α ≒ F x B x (A-1)

위 식에서 B(벤치마크수익률)는 모든 투자자에게 동일하게 작용하는 상수라 배제시키면,

초장기 시계열의 초과수익을 설명하기 위해선 F(자금)와 A(투자실력) 두 변수가 영향을 줍니다.

여기서 특이한 점은 자금과 투자실력은 서로 양의 상관관계를 가진다는 것입니다.

막대한 자금을 운용하는 기관들이 당연히 정보력, 논리력, 실행력에서 앞서기 때문이죠.

양의 상관관계를 가지며, Long-Right Tail Skewed 분포를 보이는 두 변수(F, A-1)가 곱해져서

구해지는 P(투자수익) 또한 Long-Right Tail Skewed 분포를 가지게 되고

그 Skewness(기울어진 정도)는 곱해진만큼 더 커지게 됩니다.

지금까지 Long-Right Tail Skewed 분포를 반복적으로 언급한 이유는

바로 이 분포는 특성상 최빈값 < 중앙값 << 평균값으로 나타나는 특징 때문입니다.

그리고 이 특징은 Skewness가 클수록 통계값 간 더 큰 차이를 보입니다.

이렇게 그려진 α(초과수익)의 확률분포에서 평균값(Mean)에 해당하는 값은 무엇일까요?

주식시장은 벤치마크수익을 기준으로 제로썸 게임이기 때문에

모든 시장참여자의 초과수익의 합(Σα) 은 0이 되므로 초과수익의 평균값 또한 0이 됩니다.

 

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자 이제 통계함수놀이는 끝났고 위 그래프에서 Mean이라 적힌 수직선에 0을 대입하고 바라봐보죠.

어떤 느낌이 드시나요?

저 기울어진 확률분포에서 Mean의 오른쪽에 위치한 투자자가 되어야 초과수익을 얻는 것이고

왼쪽에 위치한 대다수의 투자자는 초과손실을 얻는 것입니다.

 

이 사실에도 불구하고 대부분의 주식 투자자는 착각을 합니다.

"난 S&P500 주가지수 ETF에 투자하는 패시브투자는 하지 않을거야~"

"개별주식 액티브투자로 중간보다 잘하면 주가지수보다 초과수익을 내지 않겠어?"

"전통 에너지기업 같은 사양산업이랑 적자기업 투자만 안해도 초과수익은 쉽지!"

"주변에 주식투자한다는 김과장, 앞집 아주머니, 단타 불나방들보다는 내가 더 잘할 것 같은데?"

이런 생각이 드는 이유는 인간의 뇌는 중간을 생각할 때 평균값(Mean)이 아닌

주변에 흔히 보이는 대다수 사람들의 값인 최빈값(Mode) 위주로 생각하기 때문입니다.

비교 대상에 워렌버핏도 그의 자산운용규모만큼 가중시켜 포함시켜야 한다는 사실은

직감이 무시하고 있는 것이죠.

S&P500 주가지수 자체도 시가총액 가중 평균으로 산출되는데 말입니다.

 

그리고 사람들이 이러한 착각에 빠지기 도록 만드는 함정은

위에서 언급했듯 단기 시계열에선 실력 대비 운의 비중이 압도적이라는 점입니다.

사람들은 대개 1년 수익률, 1달 수익률에 큰 의미부여를 하며

"워렌버핏이 올해 수익률이 15%라고? 내가 올해 30%면 내가 바로 제 2의 워렌버핏?"

이런 말도 안 되는 헛된 꿈을 꾸고 초과수익이란 헛된 기대를 좇는 것이죠.

실제로 수십년 장기 시계열로 갈수록 이 시장은 얼마나

자금력, 정보력, 논리력, 실행력의 기울어진 운동장인지 알 수 있습니다.

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여기까지 쓴 내용을 보면 개별 주식 투자는 하지말고 주가지수 ETF를 투자하자가

결론이 될 것 같은데 그렇진 않습니다.

 

아 사실 상당부분 맞습니다.

ETF를 괜히 20세기 최고의 금융 발명품이라 하는 게 아니고

워렌버핏이 괜히 유산의 90%를 SPY에 10%를 미국국채에 투자하라고 한 것이 아닙니다.

누구나 쉽게 적은 비용으로 대다수가 달성하지 못 할 초과수익의 평균인 0을

언제나 달성시켜주는 금융상품이라니 사실 가성비 측면에서 안 할 이유가 없습니다.

그래서 전 누군가가 저에게 투자 조언을 구한다면 ETF로 자산배분 투자를 하라고 권하며

정말 개별주식을 하고 싶거든 Core(지구)-Satellite(달) 전략으로

자산배분ETF(지구) 90%, 개별주식(달) 10%로 시작해서

경험과 능력치가 쌓이면 조금씩 달의 비중을 늘려가라고 권하고 싶습니다.

 

추가로, 이 초과수익 확률분포 모형에서 얻을 수 있는 교훈은 

본인이 윷을 던져 수차례 연속적으로 모가 나올 정도로 특별히 운이 좋은 사람이 아니라면

초보자 단계에선 마이너스 초과수익(손실)을 얻는게 당연하다는 것입니다.

초과수익의 평균인 0 이상을 개별주식 투자로 달성할 수 있을 정도의 실력을 갖출 때까지

인내하기 위해선 누적되는 성장에 의의를 두고 투자 자체를 즐겨야 한다고 생각합니다.

기울어진 운동장에서 뒤떨어진 하룻강아지인 것을 깨닫는 순간들을 극복해나가는 것은

어쩌면 인간의 본성에 반하는 의사결정이기에 투자를 즐기지 않고서는 중간에 포기하기 십상이겠죠.